Во всех рассмотренных выше СМО предполагалось, что все запросы, поступающие в систему - однородные, то есть, они имеют один и тот же закон распределения времени обслуживания и обслуживаются в системе согласно общей дисциплины выбора из очереди. Однако, во многих реальных системах запросы, поступающие в систему, неоднородны как по распределению времени обслуживания, так и по их ценности для системы и, следовательно, праву претендовать на первоочередное обслуживание в момент освобождения прибора. Такие модели исследуются в рамках теории приоритетных СМО. Эта теория довольно хорошо развита и ее изложению посвящено немало монографий (см., например, , , , и т.д.). Здесь мы ограничимся кратким описанием приоритетных систем и рассмотрим одну систему.
Рассмотрим однолинейную СМО с ожиданием. На вход системы поступают независимых простейших потоков, поток имеет интенсивность . Будем обозначать
Времена обслуживания запросов из потока характеризуются функцией распределения с преобразованием Лапласа - Стилтьеса и конечными начальными моментами
Запросы из потока назовем запросами приоритета к.
Считаем, что запросы из потока более приоритетны, чем запросы из потока, если Приоритетность проявляется в том, что в момент окончания обслуживания следующим на обслуживание выбирается из очереди запрос, имеющий максимальный приоритет. Запросы, имеющие один и тот же приоритет, выбираются согласно установленной дисциплине обслуживания, например, согласно дисциплине FIFO.
Рассматриваются различные варианты поведения системы в ситуации, когда во время обслуживания запроса некоторого приоритета в систему поступает запрос более высокого приоритета.
Система называется СМО с относительным приоритетом, если поступление такого запроса не прерывает обслуживание запроса. Если же такое прерывание происходит, то система называется СМО с абсолютным приоритетом. В этом случае, однако, требуется уточнить дальнейшее поведение запроса, обслуживание которого оказалось прерванным. Различают следующие варианты: прерванный запрос уходит из системы и теряется; прерванный запрос возвращается в очередь и продолжает обслуживание с места прерывания после ухода из системы всех запросов, имеющих более высокий приоритет; прерванный запрос возвращается в очередь и начинает обслуживание заново после ухода из системы всех запросов, имеющих более высокий приоритет. Прерванный запрос обслуживается прибором после ухода из системы всех запросов, имеющих более высокий приоритет, в течение времени, имеющего прежнее или некоторое другое распределение. Возможен вариант, когда требуемое время обслуживания в последующих попытках идентично времени, которое требовалось для полного обслуживания данного запроса в первой попытке.
Таким образом, имеется достаточно большое число вариантов поведения системы с приоритетом, с которыми можно ознакомиться в вышеупомянутых книгах. Общим в анализе всех систем с приоритетами является использование понятия периода занятости системы запросами приоритета к и выше. При этом основным методом исследования этих систем является метод введения дополнительного события, кратко описанный в разделе 6.
Проиллюстрируем особенности нахождения характеристик систем с приоритетами на примере системы, описанной в начале раздела. Будем считать, что это система с относительным приоритетом и найдем стационарное распределения времени ожидания запроса приоритета если бы он поступил в систему в момент времени t (так называемого виртуального времени ожидания), для системы с относительными приоритетами.
Обозначим
Условием существования этих пределов является выполнение неравенства
где величина вычисляется по формуле:
Обозначим также .
Утверждение 21. Преобразование Лапласа - Стилтьеса стационарного распределения виртуального времени ожидания запроса приоритета к определяется следующим образом:
где функции задаются формулой:
а функции находятся как решения функциональных уравнений:
Доказательство. Заметим, что функция представляет собой преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения длины периода занятости системы запросами приоритета I и выше (то есть, интервала времени с момента поступления в пустую систему запроса приоритета I и выше и до первого после этого момента, когда система окажется свободной от присутствия запросов приоритета I и выше). Доказательство того, что функция удовлетворяет уравнению (1.118), почти дословно повторяет доказательство Утверждения 13. Отметим лишь, что величина есть вероятность того, что период занятости системы запросами приоритета I и выше начинается с прихода запроса приоритета а величина трактуется как вероятность ненаступления катастрофы и запросов приоритета I и выше, за периоды занятости, порожденные которыми наступает катастрофа, за время обслуживания запроса приоритета , начавшего данный период занятости.
Сначала вместо процесса рассмотрим существенно более простой вспомогательный процесс - время, в течение которого ожидал бы начала обслуживания запрос приоритета к, если бы он поступил в систему в момент времени t и после этого в систему не поступало запросов более высокого приоритета.
Пусть - преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения случайной величины . Покажем, что функция определяется следующим образом:
(1.119)
Вероятность того, что система пуста в момент времени - вероятность того, что в интервале началось обслуживание запроса приоритета
Для доказательства (1.119) применим метод введения дополнительного события. Пусть независимо от работы системы поступает простейший поток катастроф интенсивности s. Каждый запрос назовем «плохим», если во время его обслуживания поступает катастрофа, и «хорошим» - в противном случае. Как следует из утверждений 5 и 6, поток плохих запросов приоритета к и выше является простейшим с интенсивностью
Введем событие A(s,t) - за время t в систему не поступали плохие запросы приоритета к и выше. В силу утверждения 1 вероятность этого события подсчитывается как:
Подсчитаем эту вероятность иначе. Событие A(s,t) является объединением трех несовместных событий
Событие состоит в том, что катастрофы не поступили ни за время t, ни за время При этом, естественно, за время t в систему поступали только хорошие запросы приоритета к и выше. Вероятность события очевидно, равна
Событие состоит в том, что катастрофа поступила в интервале , но в момент поступления система была пуста, а за время не поступило плохих запросов приоритета к и выше.
Вероятность события вычисляется как:
Событие состоит в том, что катастрофа поступила в интервале но в момент ее поступления в системе обслуживался запрос приоритета ниже k, который начал обслуживаться в интервале а за время t - и не поступило плохих запросов приоритета k и выше. Вероятность события определяется следующим образом:
Поскольку событие есть сумма трех несовместных событий, то его вероятность есть сумма вероятностей этих событий. Поэтому
Приравнивая два полученных выражения для вероятности и умножая обе части равенства на после несложных преобразований получаем (1.119)
Очевидно, что для того, чтобы за время ожидания запроса, поступившего в момент t не поступило катастрофы, необходимо и достаточно, чтобы за время не поступило катастроф и запросов приоритета и выше, таких, что за периоды занятости (запросами приоритета и выше), порожденные ими, наступает катастрофа. Из этих рассуждениий и вероятностной трактовки преобразования Лапласа - Стилтьеса получаем формулу, дающую связь преобразований в очевидной форме.
1. Показатели эффективности использования СМО:
Абсолютная пропускная способность СМО – среднее число заявок, которое смо-
жет обслужить СМО в единицу времени.
Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок,
обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это же
время заявок.
Средняя продолжительность периода занятости СМО.
Коэффициент использования СМО – средняя доля времени, в течение которого
СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.
2. Показатели качества обслуживания заявок:
Среднее время ожидания заявки в очереди.
Среднее время пребывания заявки в СМО.
Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.
Вероятность того, что вновь поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.
Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.
Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.
Среднее число заявок, находящихся в очереди.
Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.
3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО – клиент», где под «клиентом» понимают всю совокупность заявок или некий их источник. К числу таких показателей относится, например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени
Классификация систем массового обслуживания
По числу каналов СМО:
одноканальные (когда имеется один канал обслуживания)
многоканальные , точнее n -канальные (когда количество каналов n ≥ 2).
По дисциплине обслуживания:
1. СМО с отказами , в которых заявка, поступившая на вход СМО в момент, когда все
каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО («пропадает»). Чтобы эта заявка все же
была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые. Примером СМО с отказами может служить работа АТС: если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать еще раз.
2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью ). В таких системах
заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов будет обслужена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой наладчиков).
3. СМО смешанного типа (с ограниченным ожиданием ). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.
Эти ограничения могут накладываться на длину очереди , т.е. максимально возможное
число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди. В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта.
Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди , по исте-
чению которого она выходит из очереди и покидает систему).
В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные схемы об-
служивания заявок из очереди. Обслуживание может быть упорядоченным , когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченным , при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом , когда некоторые заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую очередь.
По ограничению потока заявок:
замкнутые и открытые .
Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращать-
ся, то СМО является замкнутой , в противном случае – открытой .
По количеству этапов обслуживания:
однофазные и многофазные
Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслужива-
ния, то такие СМО называются однофазными . Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания (т.е. обслуживание состоит из нескольких последовательных этапов или фаз), то СМО называется многофазной . Примером работы многофазной СМО является обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка, диагностирование и т.д.).
1. Интенсивность потока обслуживания заявок
2. Коэффициент загрузки СМО
3. Вероятность образования очереди
4. Вероятность отказа системы
5. Пропускная способность
6. Среднее число заявок, находящихся в очереди
7. Среднее число заявок, обслуживаемых СМО
8. Среднее число заявок, находящихся в СМО
9. Среднее время заявки в СМО
10. Среднее время пребывания заявки в очереди
11. Среднее число занятых каналов.
Судить о качестве полученной системы нужно по сов-ти значений показателей. При анализе результатов моделирования важно обращать внимание на интересы клиента и владельца системы. В частности, следует min-ть или max-ть тот или иной показатель.
26. Одноканальная СМО
27. Одноканальная СМО с отказами
28. Многоканальная СМО с ограниченной очередью
Параметры СМО:
o Интенсивность потока заявок.
o Интенсивность потока обслуживания.
o Среднее t обслуживания заявки.
o Кол-во каналов обслуживания.
o Дисциплина обслуживания.
< СМО на примере работы АЗС. Несколько одинак. колонок, произв-ть кот.известна. Если колонки заняты, то обслуживание в очереди м. ждать не > 3х машин одновременно. Очередь считаем общей. Если все места в очереди заняты, то машина получает отказ в обслуживании.
29. Транспортная задача
- широкий круг задач не только транспортного хар-ра, распределение ресурсов, наход-ся у неск. поставщиков, д/другого произвольного числа потребителей. Д/перевозчиков наиболее часто отн-ся к транспорту:
1. Привязка потребителей к ресурсам производителей.
2. Привязка к пунктам назначения пунктов отправления.
3. Взаимопривязка грузопотока прямого и обратного направления.
4. Оптимальное распределение V выпуска промышл. продукции м/у изготов-ми.
< модель привязки к пункту назначения. Известны: пункты отправления и назначения, объемы отправления по к-му пункту, потребность в грузе, стоимость доставки по каждому варианту. Н. оптимальный план перевозок с min транспортными издержками.
30. Тр. задача закрытая - ∑Vотправл. грузов= ∑V потреб-ти в этом грузе, т.е. ∑ai=∑bj (m – число поставщиков, n – число потребителей).
31 . Если это условие невозможно – открытая тр. задача . Тогда ее надо привести к закрытой:
1. Если потребность пунктов назначения превышает запасы пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающимV отправления.
2. Весь запас поставщиков > потребности, то ввод-сяфикт. потребитель.
32. Алгоритм решения задачи методом потенциалов (этапы):
1. Разработка начального плана (опорного решения).
2. Расчет потенциалов.
3. Проверка плана на оптимальность.
4. Поиск max звена не оптимальности (если п.3 не выполнен)
5. Составление контура перераспределения ресурсов.
6. Определение min эл-та в контуре перераспр-ния и перераспр. ресурсов по контуру.
7. Получение нового плана.
Эта процедура повторяется несколько раз, пока не будет найдено оптимальное решение. Алгоритм остается неизменным.Методы отыскания начального плана:
1. Метод С-З угла
2. Метод min стоимости
3. Метод двойного предпочтения
Метод потенциалов позволяет за конечное число планов найти оптимальный. (Метод Фогеля) Метод потенциалов разработан д/классич. транспорт.задач, но такие встречаются редко, приходится вводить ряд ограничений.
33. В экономике организации встреч-ся норма задач, кот.м.б. сведены к транспортной задаче:
1. Отд. поставки от опред. поставщиков некот. потребителями д.б. исключены из-за отсутствия необх. усл. хранения, перегрузки коммуникаций, и т.д.
2. Организ. необх. опред. min ∑затраты на пр-во и транспортировку продукции. М. оказаться экономич. более выгодным доставлять сырье из более отдал.пунктов, но при <себест-ти. Критерий оптимальности принимает ∑ затрат на пр-во и тран-ку.
3. Ряд трансп. маршрутов имеют ограничения по пропускной спос-ти.
4. Поставки по определ. маршрутам обязательны и обязат. д. войти в оптим. план.
5. Экономическая задача не является транспортной. (Пр. – распределение произв. изделий м/у предприятиями).
6. Необходимость max-ть целевую ф-ю задачи транспортного типа.
7. Необходимость в одно и то же t распределить груз различного рода по потребителям – Многопродуктовая транспортная задача .
8. Доставка грузов в краткий срок. (Метод потенциалов не пригоден, решается с пом. спец. алгоритма).
34. Транспортная задача в сетевой подстановке
Если условие транспортной задачи задано в виде схемы, на кот.изображены поставщики, потребители и связыв. их дороги, указаны величины запасов груза и потребностей в нем и показатели критерия оптимальности (тарифы, расстояния).В вершинах (узлах) сети изображают поставщиков и потребителей. Запасы груза считают положительными, а потребности отрицательными числами. Ребра (дуги) сети – дороги.Решение трансп. задачи в сетевой постановке основано на методе потенциалов и нач-ся с построения начального опорного плана, который должен удовлетворять требованиям:
1. Все запасы должны быть распределены, а потребители удовлетворены.
2. Для каждой вершины должна быть указана поставка груза (+ или -)
3. Общее количество поставок должно быть на 1 меньше числа вершин.
4. Стрелки, которыми обозначают поставки, не д. образовывать замкн. контур.
Затем план проверяют на оптимальность, для чего вычисляют потенциалы. Получают новый план и снова исследуют на оптимальность. Определяют значение целевой функции.
В случае открытой модели вводят фиктивного потребителя или поставщика.
35. Д/решения научных и практических задач в области логистики прим. основные методы:
1. Методы системного анализа
2. Методы теории исследования операции
3. Кибернетические методы
4. Метод прогнозирования
5. Методы экспертных оценок
6. Методы моделирования
36. Наиболее часть в логистике применяется имитац. моделирование, в кот.закономерности, определяющие количественное отношение остаются неизвестными, а сам логистический процесс остается «черным ящиком» или «серым ящиком».
К основным процессам имитац. моделирования отн-ся:
1. Конструирование модели реальной системы.
2. Постановка экспериментов на этой модели.
Цели моделирования:
o Определение поведения логистической системы.
o Выбор стратегии д/обеспеч. наиб.эфф-го функционирования логистич. системы.
Имитац. моделирование целесообразно исполнять, когда вып-ся условия:
1. Не сущ. законченой постановки задач или не разработаны аналитические методы решения сформулиров. матем. модели.
2. Аналитич. модель имеется, но процедуры сложны и трудоемки, сл. имитац. моделирование дает более простой способ решения задачи.
3. Аналитич. решения сущ., но их реализация невозможна из-за недостаточной математической подготовки персонала.
37. Широкое применение в логистике нашли экспертные системы – спец. комп.программы, кот. помогают специалистам принимать решения, связ. с управлением материальным потоком.
Экспертная система позволяет:
1. Принимать быстрые и качественные решения в области управления материальными потоками.
2. подготовить опытных специалистов за отн-но короткий срок.
4. Использовать опыт и знания высококвалифицированных специалистов на различных рабочих местах.
Недостатки экспертной системы:
1. Ограниченные воз-ти использования здравого смысла.
2. Невозм-но учесть все особенности в программе экспертной системы.
Рассмотренный в предыдущей лекции марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО).
Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
- расчетно-кассовые узлы в банках, на предприятиях;
- персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
- станции технического обслуживания автомобилей; АЗС;
- аудиторские фирмы;
- отделы налоговых инспекций, занимающиеся приёмкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
- телефонные станции и т. д.
Узлы |
Требования |
|
Больница |
Санитары |
Пациенты |
Производство |
||
Аэропорт |
Выходы на взлетно-посадочные полосы Пункты регистрации |
Пассажиры |
Рассмотрим схему работы СМО (рис. 1). Система состоит из генератора заявок, диспетчера и узла обслуживания, узла учета отказов (терминатора, уничтожителя заявок). Узел обслуживания в общем случае может иметь несколько каналов обслуживания.
Рис. 1
- Генератор заявок – объект, порождающий заявки: улица, цех с установленными агрегатами. На вход поступает поток заявок (поток покупателей в магазин, поток сломавшихся агрегатов (машин, станков) на ремонт, поток посетителей в гардероб, поток машин на АЗС и т. д.).
- Диспетчер – человек или устройство, которое знает, что делать с заявкой. Узел, регулирующий и направляющий заявки к каналам обслуживания. Диспетчер:
- принимает заявки;
- формирует очередь, если все каналы заняты;
- направляет их к каналам обслуживания, если есть свободные;
- дает заявкам отказ (по различным причинам);
- принимает информацию от узла обслуживания о свободных каналах;
- следит за временем работы системы.
- Очередь – накопитель заявок. Очередь может отсутствовать.
- Узел обслуживания состоит из конечного числа каналов обслуживания. Каждый канал имеет 3 состояния: свободен, занят, не работает. Если все каналы заняты, то можно придумать стратегию, кому передавать заявку.
- Отказ от обслуживания наступает, если все каналы заняты (некоторые в том числе могут не работать).
Кроме этих основных элементов в СМО в некоторых источниках выделяются также следующие составляющие:
терминатор – уничтожитель трансактов;
склад – накопитель ресурсов и готовой продукции;
счет бухгалтерского учета – для выполнения операций типа «проводка»;
менеджер – распорядитель ресурсов;
Классификация СМО
Первое деление (по наличию очередей):
- СМО с отказами;
- СМО с очередью.
В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.
В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.
СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена . Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».
Итак, например, рассматриваются следующие СМО:
- СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
- СМО с обслуживанием с приоритетом, т. е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т. д.
Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.
Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.
Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.
Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.
В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.
Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.
По количеству каналов СМО делятся на:
- одноканальные;
- многоканальные.
Характеристики системы массового обслуживания
Основными характеристиками системы массового обслуживания любого вида являются:
- входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
- дисциплина очереди;
- механизм обслуживания.
Входной поток требований
Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (количество таких требований в каждом очередном поступлении ). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.
А i – время поступления между требованиями – независимые одинаково распределенные случайные величины;
E(A) – среднее (МО) время поступления;
λ=1/E(A) – интенсивность поступления требований;
Характеристики входного потока:
- Вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание.
- Количество требований в каждом очередном поступлении для групповых потоков.
Дисциплина очереди
Очередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания.
Очередь имеет имя.
Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
- первым пришел – первый обслуживаешься;
first in first out (FIFO)
самый распространенный тип очереди.
Какая структура данных подойдет для описания такой очереди? Массив плох (ограничен). Можно использовать структуру типа СПИСОК.
Список имеет начало и конец. Список состоит из записей. Запись – это ячейка списка. Заявка поступает в конец списка, а выбирается на обслуживание из начала списка. Запись состоит из характеристики заявки и ссылки (указатель, за кем стоит). Кроме этого, если очередь с ограничением на время ожидания, то еще должно быть указано предельное время ожидания.
Вы как программисты должны уметь делать списки двусторонние, односторонние.
Действия со списком:
- вставить в хвост;
- взять из начала;
- удалить из списка по истечении времени ожидания.
- пришел последним - обслуживаешься первым LIFO (обойма для патронов, тупик на железнодорожной станции, зашел в набитый вагон).
Структура, известная как СТЕК. Может быть описан структурой массив или список;
- случайный отбор заявок;
- отбор заявок по критерию приоритетности.
Каждая заявка характеризуется помимо прочего уровнем приоритета и при поступлении помещается не в хвост очереди, а в конец своей приоритетной группы. Диспетчер осуществляет сортировку по приоритету.
Характеристики очереди
- ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»);
- длина очереди.
Механизм обслуживания
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся:
- количество каналов обслуживания (N );
- продолжительность процедуры обслуживания (вероятностное распределение времени обслуживания требований);
- количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры (для групповых заявок);
- вероятность выхода из строя обслуживающего канала;
- структура обслуживающей системы.
Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».
S i – время обслуживания i -го требования;
E(S) – среднее время обслуживания;
μ=1/E(S) – скорость обслуживания требований.
Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода из строя обслуживающего канала по истечении некоторого ограниченного интервала времени. Эту характеристику можно моделировать как поток отказов, поступающий в СМО и имеющий приоритет перед всеми другими заявками.
Коэффициент использования СМО
N ·μ – скорость обслуживания в системе, когда заняты все устройства обслуживания.
ρ=λ/(N μ) – называется коэффициентом использования СМО , показывает, насколько задействованы ресурсы системы.
Структура обслуживающей системы
Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживани .
Пример. Кассы в магазине.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно . Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Пример. Медицинская комиссия.
Комбинированное обслуживание – обслуживание вкладов в сберкассе: сначала контролер, потом кассир. Как правило, 2 контролера на одного кассира.
Итак, функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами :
- вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
- мощностью источника требований;
- вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
- конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
- количеством и производительностью обслуживающих каналов;
- дисциплиной очереди.
Основные критерии эффективности функционирования СМО
В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:
- вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки (Р обсл =К обс /К пост);
- вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки (P отк =К отк /К пост);
Очевидно, что Р обсл + P отк =1.
Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека–Хинчина
Задержка – один из критериев обслуживания СМО, время проведенное заявкой в ожидании обслуживания.
D i – задержка в очереди требования i ;
W i =D i +S i – время нахождения в системе требования i .
(с вероятностью 1) – установившаяся средняя задержка требования в очереди;
(с вероятностью 1) – установившееся среднее время нахождения требования в СМО (waiting).
Q(t) – число требований в очереди в момент времени t;
L(t) – число требований в системе в момент времени t (Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t.
Тогда показатели (если существуют)
(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в очереди;
(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в системе.
Заметим, что ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q и L в системе массового обслуживания.
Если вспомнить, что ρ= λ/(N μ), то видно, что если интенсивность поступления заявок больше, чем N μ, то ρ>1 и естественно, что система не сможет справиться с таким потоком заявок, а следовательно, нельзя говорить о величинах d, w, Q и L.
К наиболее общим и нужным результатам для систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения
Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/N (N >1), т. е. систем с Марковскими потоками заявок и обслуживания. Для М/G/ l при любом распределении G и для некоторых других систем. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным (или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-го порядка), чтобы аналитическое решение стало возможным.
Кроме этого можно также говорить о таких характеристиках, как:
- абсолютная пропускная способность системы – А=Р обсл *λ;
- относительная пропускная способность системы –
Еще один интересный (и наглядный) пример аналитического решения – вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/ 1 по формуле:
.
В России эта формула известна как формула Поллачека– Хинчина, за рубежом эта формула связывается с именем Росса (Ross).
Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d ) будет большей; чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), т. е. единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.
Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса , происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские . В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.
Показатели эффективности СМО- абсолютная и относительная пропускная способность системы;
- коэффициенты загрузки и простоя;
- среднее время полной загрузки системы;
- среднее время пребывания заявки в системе.
- P обс – вероятность обслуживания заявки,
- t сист – время пребывания заявки в системе.
- λ b – абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени),
- P обс – относительная пропускная способность системы,
- k з – коэффициент загрузки системы.
Задача
. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр.
Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение.
По условию n=3, λ=0,25(1/ч), t
об. =3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/t
об. =1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:
по формуле (25) p 0 =(1+0,75+0,75 2 /2!+0,75 3 /3!) -1 =0,476;
по формуле (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 =(0,75 3 /3!)∙0,476=0,033 т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени -
три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P отк. =p 3 =0,033.
По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q = 1-0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A= 0,25∙0,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ k
=0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 =24,2%.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.
Задача
. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Решение.
Имеем ρ = λ/μ = μt
об. =0,4∙2=0,8. Так как ρ = 0,8 <
1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что причал свободен, по (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят, P зан. = 1-0,2 = 0,8. По формуле (34) вероятности того, что у причала находятся 1,
2, 3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны p 1 = 0,8(1-0,8) = 0,16; p 2 = 0,8 2 ∙(1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙(1-0,8) = 0,1024.
Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна
P=p 1 +p 2 +p 3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
По формуле (40) среднее число судов, ожидающих разгрузки
L jч =0,8 2 /(1-0,8) = 3,2
а среднее время ожидания разгрузки по формуле (15.42)
T оч =3,2/0,8 = 4 сутки.
По формуле (36) среднее число судов, находящихся у причала, L сист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (сутки) (или проще по (37) L сист. = 3,2+0,8 = 4 (сутки), а среднее время пребывания судна у причала по формуле (41) T сист = 4/0,8 = 5 (сутки).
Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна t
об либо увеличение числа причалов n .
Задача
. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 81 чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя t
об = 2 мин. Определить:
а. Минимальное количество контролеров-кассиров п min ,
при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n=n min .
б. Оптимальное количество n опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат С отн., связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей,
задаваемая, например, как , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n min и n=n опт.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.
Решение.
а. По условию l =
81(1/ч) = 81/60 = 1,35 (1/мин.). По формуле (24) r = l/ m = lt
об = 1,35×2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии r/n < 1, т.е. при n > r = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров n min = 3.
Найдем характеристики обслуживания СМО при п
= 3.
Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, по формуле (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3-2,7)) -1 = 0,025, т.е. в среднем 2,5%
времени контролеры-кассиры будут простаивать.
Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, по (48) P оч. = (2,7 4 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735
Среднее число покупателей, находящихся в очереди, по (50) L оч. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Среднее время ожидания в очереди по (42) T оч. = 7,35/1,35 = 5,44 (мин).
Среднее число покупателей в узле расчета по (51) L сист. = 7,35+2,7 = 10,05.
Среднее время нахождения покупателей в узле расчета по (41) T сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).
Таблица 1
| Характеристика обслуживания | Число контролеров-кассиров | ||||
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| Вероятность простоя контролеров-кассиров p 0 | 0,025 | 0,057 | 0,065 | 0,067 | 0,067 |
| Среднее число покупателей в очереди T оч. | 5,44 | 0,60 | 0,15 | 0,03 | 0,01 |
| Относительная величина затрат С отн. | 18,54 | 4,77 | 4,14 | 4,53 | 5,22 |
Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т.е. 81 покупатель в час.
Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров.
б. Относительная величина затрат при n = 3
C отн. = = 3/1,35+3∙5,44 = 18,54.
Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях п (табл. 1).
Как видно из табл. 2, минимальные затраты получены при n = n опт. = 5 контролерах-кассирах.
Определим характеристики обслуживания узла расчета при n = n опт. =5. Получим P оч. = 0,091; L оч. = 0,198; Т оч. = 0,146 (мин); L сист. = 2,90; T снст. = 2,15 (мин); k = 2,7; k 3 = 0,54.
Как видим, при n = 5 по сравнению с n = 3 существенно уменьшились вероятность возникновения очереди P оч. , длина очереди L оч. и среднее время пребывания в очереди T оч. и соответственно среднее число покупателей L сист. и среднее время нахождения в узле расчета T сист., а также доля занятых обслуживанием контролеров k 3. Но среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров k и абсолютная пропускная способность узла расчета А естественно не изменились.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более 3 покупателей, определится как
= 1- P оч. + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , где каждое слагаемое найдем по формулам (45) – (48). Получим при n=5:
Заметим, что в случае n=3 контролеров-кассиров та же вероятность существенно меньше: P(r ≤ 3) =0,464.