Задача 1. Проверить выполнение аксиом группы для а) множества целых чисел; б) множества четных целых чисел; в) множества нечетных целых чисел относительно операции сложения.

Решение. Обозначим черезZ 2 n – множество четных целых чисел, а черезZ 2 n -1 – множество нечетных целых чисел. Замкнутыми относительно сложения являются множествоZи множествоZ 2 n . В самом деле, складывая два целых числа, получаем целое число; складывая два четных целых числа, получаем также четное целое число. Напротив, при сложении двух нечетных чисел не получается нечетное число, что указывает на то, что множествоZ 2 n -1 незамкнуто относительно операции сложения.

Проверим выполнение других аксиом группы. Сложение является ассоциативной операцией. Нейтральным элементом на множествах ZиZ 2 n относительно сложения является 0. Далее, для любого целого числа (четного целого числа) противоположное ему число также является целым (четным целым).

Таким образом, можно сделать вывод, что и
– группы, а
не удовлетворяет определению группы, равно как и определениям моноида и полугруппы.

При этом обе группы
и
являются коммутативными (абелевыми), в силу коммутативности сложения.

Задача 2. Доказать, что множество четных целых чисел образует подгруппу аддитивной группы целых чисел.

Решение. Ранее доказано, что
– группа. При этом
. Тем самым, доказано, что
– подгруппа группы
.

Задача 3. Найти смежные классы группы
по подгруппе
.

Решение . Для удобства записи обозначим
. Левые смежные классы группы
по подгруппе
представлены ниже:

Очевидно, что левые смежные классы совпадают с соответствующими правыми классами. Это является следствием коммутативности сложения. Следовательно, группа четных целых чисел является нормальным делителем аддитивной группы целых чисел.

Рассмотренный пример, кроме прочего, иллюстрирует ряд основных фактов, касающихся смежных классов:

а) одним из смежных классов является сама подгруппа Н (в данном случае это смежный класс Н + 0);

б) любые два смежных класса либо совпадают (например, Н + 0 и Н + 2), либо вовсе не пересекаются (например, Н + 0 и Н + 1);

в) множество смежных классов (например, левых) образует разбиение носителя группы; в данном случае
.

Задачи для самостоятельного решения

Если H 1 и H 2 – подмножества группы G , то произведением H 3 подмножеств H 1 и H 2 называется H 3 = H 1 ×H 2 º {h 3 ½h 3 = h 1 ×h 2 ; h 1 ÎH 1 ; h 2 ÎH 2 }.

Отметим, что если H 1 и H 2 – подгруппы группы G , то H 1 ×H 2 , вообще говоря, не подгруппа.

◀ В самом деле, если , то

Если бы можно было, то …. Но коммутативный закон, вообще говоря, не выполнен

Если H подгруппа G и a ÎG , то aH и Ha , рассматриваемые как произведения множества Н и одноэлементного множества {a }, называются левым и правым смежными классами подгруппы Н в G . Изменение а влечет за собой, вообще говоря, изменение смежных классов.

§7. Свойства смежных классов (сформулированы для левых,

но справедливы и для правых)

1° . a ÎH Þ aH º H . Доказать самостоятельно .

2° . a -1 b ÎH Þ aH = bH . ◀ a - 1 bH º H (из 1° ) и тогда bH = (aa - 1)bH = a (a - 1 bH ) = aH

3° . Два смежных класса одной подгруппы H либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

◀ Пусть аН и bH имеют общий элемент, т.е. для h 1 , h 2 ÎH , ah 1 = bh 2 Þ a -1 b = ÎH и т.к. (из 2° )

4° . a ÎaH . Доказать самостоятельно .

Пусть Н такая подгруппа G для которой все левые смежные классы являются и правыми смежными классами. В этом случае, аН = На , "a ÎG . Подгруппа Н для которой все левые смежные классы являются одновременно и правыми смежными классами называется нормальным делителем группы G .

Т° . Если Н – нормальный делитель группы G, то произведение смежных классов –

Смежные классы. Разложение группы по подгруппе

Пусть – группа, – ее подгруппа, – произвольный элемент группы . Составим множество . Это непустое множество, называется левым смежным классом группы по подгруппе , определяемым элементом . Множество называется правым смежным классом группы по подгруппе , определяемым элементом . В общем случае .

Задача 61. В найти правый и левый смежные классы, определяе-мые элементом , если подгруппа .

Решение.

Составим классы

Заметим, .

Пусть – группа и – ее подгруппа.

Если , то говорят, что группа по подгруппе разложена на один смежный класс.

Если , то в существует элемент и тогда составим класс .

Если , то говорят, что группа по подгруппе разложена на два левых смежных класса .

Если , то имеем разложение группы на три смежных класса по подгруппе и т. д.

Процесс разложения группы по подгруппе на левые смежные классы может быть конечным, может быть бесконечным.

Аналогично можно получить разложение группы по подгруппе на правые смежные классы: .

Правое разложение не обязано совпадать с левым разложением.

В результате мы получаем два множества классов:

И – левое и правое фактор-множества множества по подмножеству . Длина этих множеств называется индексом подгруппы в группе .

Задача 62. Найти фактор-множество множества по подгруппе относительно операции сложения.

Решение. Операция сложения в коммутативная, поэтому левое и правое разложения по будут одинаковые. Разложим на на левые смежные классы.

Например, . Строим . . Имеем разложение по на два смежных класса. Фактор-множество: .

Задача 63. В мультипликативной группе

Возьмем подгруппу . Найти фактор-множество множества по .

Решение. При левостороннем разложении по имеем:

Т. е. левосторонний фактор-множество .

При правостороннем разложении по имеем:

Т. е. правостороннее фак-тор-множество , причем , .

Индекс подгруппы в равен 3.

Задача 64. Найти разложение аддитивной группы по подгруппе целых чисел, кратных 3.

Решение. .

Например, . Составим . Следовательно, класс состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1. , напри-мер, , . Составим . Следовательно, класс состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Итак, в находятся все целые числа, которые при делении на 3 дают в остатке 0, в классе – все целые числа, которые делятся на 3 дают в остатке 1, в классе – все числа с остатком 2. Но при делении на 3 возможны только остатки 0, 1, 2. Значит, все целые числа распределились по классам , т. е. разложение на смежные классы по имеет вид: . Так как сложение в коммутативное, то левостороннее разложение совпадает с правосторонним. Индекс подгруппы в равен 3.

Нормальный делитель группы. Фактор-группа

Если в группе относительно подгруппы при любом элементе , т. е. если любой элемент группы перестановочен с подгруппой , то подгруппа называется нормальным делителем группы .

Если операция в группе коммутативна, то любая подгруппа в группе является нормальным делителем. Если при левостороннем и при правостороннем разложении группы по подгруппе смежные классы, на которые распадается группа , получаются одинаковыми, то – нормальный делитель группы . Верно и обратное: если – нормальный делитель в группе , то при левостороннем и при правостороннем разложении группы по подгруппе смежные классы, на которые распадается группа , получаются одинаковыми.

Является нормальным делителем группы тогда и только тогда, когда при любом и любом элемент .

Задача 65. Если индекс подгруппы группы равен 2, то – нормальный делитель группы .

Решение. Если подгруппа имеет индекс 2 в группе , то , где и , т. е. . Следовательно, классы смежности левостороннего разложения совпадают с соответствующими классами правостороннего разложения, т. е. – нормальный делитель группы .

Задача 66. Будет ли группа в задаче 63 нормальным делителем в группе ?

Решение. Левостороннее разложение группы по подгруппе состоит из классов , и . Правостороннее разложение состоит из классов , , , но , , т. е. подгруппа не является нормальным делителем группы .

Задача 67. Найти фактор-группу группы по подгруппе всех чисел, кратных 3.

Решение. Так как сложение в коммутативно, то – нормальный делитель. Найдем разложение по : . Фактор-множество состоит из классов . Зададим на операцию сложения:

Заполнение таблицы Кэли осуществляется по правилу:

Например, . Это множество состоит из всех целых чисел , где , т. е. , . Тогда . Итак, мы получили фактор-группу , операция сложения в которой задана вышеука-занной таблицей Кэли.

Задача 68. Найти фактор-группу группы по подгруппе .

Решение. – нормальный делитель, т. к. сложение в коммутативно. Найдем разложение по : . Действительно, изобразим на числовой оси, а элементы отметим на ней точками:

Построим , где . Если , то , если , то элементы отметим звездочками. Тогда состоит из элементов, отмеченных точками и звездочками. В это множество не попадает элемент, например, . Тогда строим множество , элементы которого обозначим штрихом. Тогда состоит из элементов, обозначенных точками, звездочками и штрихами, но не совпадает с . Очевидно, чтобы совпало с , необходимо, чтобы .

Мы построили фактор-множество . Согласно процедуры факторизации, операция сложения определяется следующим образом: , где , .

Пусть заданы группы g 1 = (G 1 , ⋅, 1) и g 2 = (G 2 , ⋅, 1) Отображение f: G 1 → G 2 называют гомоморфизмом группы g 1 в группу g 2 (гомоморфизмом групп), если для любых x, у ∈ G 1 выполняется равенство f(x ⋅ у) = f(x) ⋅ f(у), т.е. образ произведения любых двух элементов группы g 1 при отображении f равен произведению их образов в группе g 2 .

Если отображение f сюръективно (биективно), то его называют эпиморфизмом (изоморфизмом) групп. В этом случае говорят также об эпиморфизме (изоморфизме) группы g 1 на группу g 2 .

Замечание 2.5. Мы обозначили операции групп g 1 и g 2 одинаково, как это обычно и делается для однотипных алгебр, хотя, конечно, это разные операции разных групп.

Пример 2.21. Пусть g 1 = (ℤ, +, 0) - аддитивная группа целых чисел, а g 2 = ℤ +k - аддитивная группа вычетов по модулю k.

Зададим отображение f так: для всякого целого m образ f(m) равен остатку от деления m на k. Можно проверить, что для любых целых тип имеет место равенство f(m + n) = = f(m ⊕ k f(n), т.е. для целых чисел остаток от деления суммы на к равен сумме по модулю к остатков от деления на к каждого слагаемого.

Следовательно, данное отображение есть гомоморфизм группы g 1 в группу g 2 . Далее, поскольку любое целое число от 0 до k - 1 есть остаток от деления на k какого-то числа, то отображение f является и эпиморфизмом группы g 1 на группу g 1 .

Теорема 2.14. Пусть g 1 , g 2 - произвольные группы. Если f: g 1 → g 1 - гомоморфизм, то:

1. образом единицы (нейтрального элемента) группы g 1 при отображении f является единица группы g 2 , т.е. f(1) = 1;
2. для всякого элемента х группы g 1 образом элемента x -1 является элемент -1 , обратный элементу f(x), т.е. f(x -1) = -1 .

◀ Согласно определению гомоморфизма, для произвольного x ∈ g 1 имеем f(х) ⋅ f(1) = f(х ⋅ 1). Далее, f(х ⋅ 1) = f(х), т.е. f(x) ⋅ f(1) = f(x). Следовательно, f(1) = (f(х)) -1 ⋅ f(х) = 1, т.е. f(1) = 1

Докажем второе утверждение теоремы. Используя определение гомоморфизма и уже доказанное первое утверждение теоремы, получаем

f(x -1) ⋅ f(x) = f(x -1 ⋅x) = f(1) = 1, т.е. f(x -1) = -1

Множество f(G 1) - образ носителя группы g 1 при гомоморфизме f - замкнуто относительно умножения группы g 2 . Действительно, если g 2 , g 2 " ∈ f(g 1), то существуют такие g 1 , g 1 " ∈ g 1 что f (g 1) = g 2 и f (g 1 ") = g 2 ". Тогда

g 2 g 2 " = f(g 1)f(g 1 ") = f(g 1 g 1 ") ∈ f(g 1).

Из теоремы 2.14 следует, что f(g 1) содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом обратный к нему элемент. Это значит, что можно определить подгруппу группы g 2 носителем которой будет множество f(g 1). Эту группу называют гомоморфным образом группы g 1 при гомоморфизме f.

Группу K называют просто гомоморфным образом группы g , если существует гомоморфизм группы g на группу K . Так, группа ℤ *k при любом k > 1 является гомоморфным образом аддитивной группы целых чисел (см. пример 2.21).

Обратимся к следующему примеру.

Пример 2.22. Рассмотрим мультипликативную группу (С\ {0}, ⋅, 1) комплексных чисел с обычной операцией умноже- умножения комплексных чисел. Легко понять, что эта группа не что иное, как мультипликативная группа поля комплексных чисел.

Рассмотрим также группу М 2 невырожденных квадратных матриц второго порядка с операцией умножения матриц (см. пример 2.9.е).

Определим отображение f множества ℂ комплексных чисел в множество квадратных матриц второго порядка, положив для произвольного ненулевого комплексного числа а + bi, что

Покажем, что f - гомоморфизм групп. С одной стороны,

f[(a + bi)(с + di)] = f[(ac - bd) + i(ad + bc)] =

С другой стороны,

Следовательно,

f[(a + bi)(с + di)] = f(a + bi) f(с + di).

Таким образом, отображение f - гомоморфизм групп, а гомоморфный образ мультипликативной группы комплексных чисел при f - это подгруппа K группы матриц M 2 , состоящая из матриц вида Здесь мы учли, что любая матри ца вида является образом некоторого комплексного числа (а именно а + bi) при отображении f. Группа K - собственная подгруппа группы M 2 . #

Сформулируем без доказательства одно важное свойство гомоморфизмов групп.

Теорема 2.15. Если f - гомоморфизм группы g в группу K, a g - гомоморфизм группы K в группу L, то композиция отображений f॰g есть гомоморфизм группы g в группу L. #

Рассмотрим некоторые свойства изоморфизмов групп.

Теорема 2.16. Если f: g 1 → g 2 - изоморфизм группы g 1 на группу g 2 то отображение f -1 , обратное к отображению f, есть изоморфизм группы g 2 на группу g 1 .

◀Пусть х и у - произвольные элементы группы g 2 , пусть также х = f(u), а у = f(v), где u и v - элементы группы g 1 .

f -1 (xy) = f -1 (f(u)f(v)) = uv = f -1 (x) f -1 (y),

т.е. отображение f -1 - гомоморфизм второй группы в первую. Но так как отображение, обратное к биекции, есть биекция, то f -1 - изоморфизм группы g 2 на группу g 1 .

Группы g и K называют изоморфными , если существует изоморфизм одной из них на другую. При этом используют обозначение g ≅ K.

Изоморфные группы с точки зрения их алгебраических свойств совершенно одинаковы, хотя их элементы могут иметь различную природу. Вернемся в этой связи к примеру 2.22. Легко убедиться в том, что определенное там отображение а множества комплексных чисел на множество квадратных матриц специального вида является биекцией. Следователь- Следовательно, мультипликативная группа комплексных чисел и группа матриц указанного вида с операцией умножения матриц изо- изоморфны, хотя элементы этих групп на первый взгляд не имеют между собой ничего общего.

Определение 2.8. Ядром гомоморфизма f группы g в группу К называют прообраз Кег f единицы группы g при гомоморфизме f: Кегf = f -1 (1)⊆ G.

Пример 2.23 . Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на k.

Теорема 2.17 . Ядро Кегf гомоморфизма f: g → K есть подгруппа группы g .

◀Нужно убедиться в том, что множество Кег f замкнуто относительно умножения группы Q, содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент.

Если a, b ∈ Ker f, т.е. f(a) = f(b) = 1, то f(ab) = f(a)f(b) = = 1 и аb ∈ Кегf. Ясно, что 1 ∈ Kerf, так как f(1) = 1 (см. теорему 2.14). Если а ∈ Кегf, то f(а -1) = -1 = 1 -1 = 1, т.е. и a -1 ∈ Кегf.

Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных k.

Подгруппа Н группы g называется нормальной подгруппой (нормальным делителем) группы g , если аН = На для любого a ∈ G.

В коммутативной группе, как было отмечено выше, аН = = На. Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем.

Пусть H = (H, ⋅, 1) - подгруппа группы g = (G, ⋅, 1). Для фиксированных элементов a, b ∈ G через аНb обозначим множество всех произведений вида ahb, где h ∈ Н. В силу ассоциативности групповой операции это обозначение корректно.

Теорема 2.18. Подгруппа H = (H, ⋅, 1) является нормальным делителем группы g = (G, ⋅, 1) тогда и только тогда, когда аНа -1 ⊆ Н для любого а ∈ G.

◀Если Н - нормальный делитель, то для любого а ∈ G аН = = На, т.е. для любого h ∈ H найдется такое h 1 ∈ H, что аh = = h 1 a. Пусть элемент х ∈ аНа -1 , т.е. x = aha -1 для некоторого h ∈ Н. Так как ah = h 1 а, то х = h 1 аa -1 = h 1 ∈ H и поэтому аHа -1 ⊆ H.

Обратно, если аНа -1 ⊆ H, то любой элемент х = aha -1 , где h ∈ Н, принадлежит и множеству H, т.е. aha -1 = h 1 для некоторого h 1 ∈ H. Отсюда, умножая последнее равенство на a справа, получим ah = h 1 a, т.е. элемент ah из левого смежного класса аН принадлежит и правому смежному классу На. Итак, аН ⊆ На.

Теперь возьмем для произвольного a ⊆ G обратный к а элемент а -1 и для него запишем включение а -1 На ⊆ H (напомним, что (а -1) -1 = а). Рассуждая как и выше, получим, что для некоторых h, h 1 ∈ H имеет место равенство a -1 h = h 1 a -1 , т.е. ha = ah 1 и На ⊆ аH. Итак, аН = Hа и H - нормальный делитель.

Оказывается, существует связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из главы 1 связь между понятиями отображения и класса эквивалентности.

Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма f группы g в группу K является нормальным делителем группы g .

Для любого у ∈ Кег f и любого a ∈ G имеем

f(aya -1) = f(a)f(y)f(a -1) = f(a)⋅0⋅f(a -1) = f(a)f(a -1) = 1

Это значит, что для любого а ∈ G выполняется соотношение а(Кег f)а -1 ⊆ Кег f, а, согласно теореме 2.18, Кегf - нормальный делитель.

Пусть H = (H, ⋅, 1) - нормальный делитель группы g = = (G, ⋅, 1). Рассмотрим множество всех левых смежных классов {аН: a ∈ G}. Это будет не что иное, как фактор-множество множества G по определенному выше (см. теорему 2.11) отношению эквивалентности ~ H .

Введем операцию умножения на множестве всех левых смежных классов следующим образом: произведением аН ⋅ bН классов аН и bН назовем класс аbН.

Это определение корректно, так как множество аН ⋅ bН, т.е. множество всех произведений вида ahbh 1 для различных h, h 1 ∈ H, в силу того что Hb = bH для всякого b ∈ G, совпадает с левым смежным классом аbH. Действительно, поскольку hb = = bH" для некоторого h" ∈ H, то ahbh 1 = abh"h 1 ∈ аbH.

Теперь рассмотрим некоторый х ∈ аbH, т.е. x = abh для некоторого x ∈ Н 1 . Поскольку bh = h"b для некоторого h" ∈ Н, то х = аx"b = ah"b1 ∈ aHbH. Следовательно, аH ⋅ bН = abH.

Можно далее легко показать, что для каждого a ∈ G имеют место аН ⋅ Н = Н ⋅ аН = аН и аН а -1 Н = а 1 Н ⋅ аН = Н. Тем самым определена группа, носителем которой является фактормножество G/~ H множества G по отношению эквивалентности ~ H с операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы H, а обратным к левому смежному классу аН будет левый смежный класс а -1 Н. Эту группу называют фактор-группой группы g по нормальному делителю H и обозначают g /H. Можно указать естественный гомоморфизм f группы g в фактор-группу g /H, который вводится согласно правилу: (Aх ∈ G)(f(x) = хН). Так как хН ⋅ уН = хуН, то для любых x,y ∈ G f(xy) = xyH = хН⋅ уН = f(x)f(y) и f - действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы g в фактор-группу g /H.

Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу ℝ = = (ℝ, +, 0) действительных чисел. Эта группа коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруппа будет нормальным делителем. Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел ℤ = (ℤ, +, 0) (аддитивная группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: ℝ и ℤ соответственно.)

Выясним смысл отношения экивалентности ~ ℤ определяемого через равенство левых смежных классов*, по подгруппе ℤ в этом случае.

Равенство левых смежных классов а + ℤ = b + ℤ означает, что для любого целого m найдется такое целое n, что а + m = b + n, т.е. a-b = n-m ∈ ℤ. Обратно, если разность а - b есть целое число, т.е. a -b = n ∈ Z, то a + Z = (b + n) + ℤ = b + ℤ. Итак, a~ ℤ b тогда и только тогда, когда а - b ∈ ℤ, или, иначе говоря, действительные числа а и b ~ ℤ - эквивалентны тогда и только тогда, когда их дробные части равны.

*Мы можем говорить в данном случае просто о смежных классах, не различая левых и правых, так как для нормального делителя эти классы равны, тем более что мы „работаем" сейчас в коммутативной группе.

Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа ℝ/ℤ группы ℝ по нормальному делителю ℤ строится так: сумма классов а + ℤ и b + ℤ равна классу (а + b) + ℤ. Вводя обозначение а + ℤ = [а], получаем [а] + [b] = [а + b]. При этом = ℤ (т.е. единица фактор-группы - это смежный класс нуля - множество всех целых чисел), причем -[а] = [-а] = (-а) + ℤ. Обратим внимание на то, что смежный класс числа х однозначно определяется его дробной частью (см. пример 1.14.6), т.е. [х] = . Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: х ↣ [х].

б. Рассмотрим теперь аддитивную группу действительных чисел по модулю 1 , т.е. группу S 1 = (: а ∈ ℝ} смежных классов в полуинтервал ) = . Поскольку [х] = - биекция и, кроме того,

φ([х] + [y]) = φ([х+y]) = = + > = ⊕ 1 = φ ([х]) ⊕ 1 φ ([y]).

Это значит, что φ - изоморфизм ℝ/ℤ на S 1 .

Группу S 1 можно воспринимать как „наглядный образ" фактор-группы ℝ/ℤ. Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллизуется в виде группы с носителем }