Доверительные интервалы (англ. Confidence Intervals ) одним из типов интервальных оценок используемых в статистике, которые рассчитываются для заданного уровня значимости. Они позволяют сделать утверждение, что истинное значение неизвестного статистического параметра генеральной совокупности находится в полученном диапазоне значений с вероятностью, которая задана выбранным уровнем статистической значимости.
Нормальное распределение
Когда известна вариация (σ 2) генеральной совокупности данных, для расчета доверительных пределов (граничных точек доверительного интервала) может быть использована z-оценка. По сравнению с применением t-распределения, использование z-оценки позволит построить не только более узкий доверительный интервал, но и получить более надежные оценки математического ожидания и среднеквадратического (стандартного) отклонения (σ), поскольку Z-оценка основывается на нормальном распределении.
Формула
Для определения граничных точек доверительного интервала, при условии что известно среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности данных, используется следующая формула
| L = X - Z α/2 | σ |
| √n |
Пример
Предположим, что размер выборки насчитывает 25 наблюдений, математическое ожидание выборки равняется 15, а среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности составляет 8. Для уровня значимости α=5% Z-оценка равна Z α/2 =1,96. В этом случае нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят
| L = 15 - 1,96 | 8 | = 11,864 |
| √25 |
| L = 15 + 1,96 | 8 | = 18,136 |
| √25 |
Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности попадет в диапазон от 11,864 до 18,136.
Методы сужения доверительного интервала
Допустим, что диапазон является слишком широким для целей нашего исследования. Уменьшить диапазон доверительного интервала можно двумя способами.
- Снизить уровень статистической значимости α.
- Увеличить объем выборки.
Снизив уровень статистической значимости до α=10%, мы получим Z-оценку равную Z α/2 =1,64. В этом случае нижняя и верхняя граница интервала составят
| L = 15 - 1,64 | 8 | = 12,376 |
| √25 |
| L = 15 + 1,64 | 8 | = 17,624 |
| √25 |
А сам доверительный интервал может быть записан в виде
В этом случае, мы можем сделать предположение, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности попадет в диапазон .
Если мы хотим не снижать уровень статистической значимости α, то единственной альтернативой остается увеличение объема выборки. Увеличив ее до 144 наблюдений, получим следующие значения доверительных пределов
| L = 15 - 1,96 | 8 | = 13,693 |
| √144 |
| L = 15 + 1,96 | 8 | = 16,307 |
| √144 |
Сам доверительный интервал станет иметь следующий вид
Таким образом, сужение доверительного интервала без снижения уровня статистической значимости возможно только лишь за счет увеличения объема выборки. Если увеличение объема выборки не представляется возможным, то сужение доверительного интервала может достигаться исключительно за счет снижения уровня статистической значимости.
Построение доверительного интервала при распределении отличном от нормального
В случае если среднеквадратичное отклонение генеральной совокупности не известно или распределение отлично от нормального, для построения доверительного интервала используется t-распределение. Это методика является более консервативной, что выражается в более широких доверительных интервалах, по сравнению с методикой, базирующейся на Z-оценке.
Формула
Для расчета нижнего и верхнего предела доверительного интервала на основании t-распределения применяются следующие формулы
| L = X - t α | σ |
| √n |
Распределение Стьюдента или t-распределение зависит только от одного параметра – количества степеней свободы, которое равно количеству индивидуальных значений признака (количество наблюдений в выборке). Значение t-критерия Стьюдента для заданного количества степеней свободы (n) и уровня статистической значимости α можно узнать из справочных таблиц.
Пример
Предположим, что размер выборки составляет 25 индивидуальных значений, математическое ожидание выборки равно 50, а среднеквадратическое отклонение выборки равно 28. Необходимо построить доверительный интервал для уровня статистической значимости α=5%.
В нашем случае количество степеней свободы равно 24 (25-1), следовательно соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня статистической значимости α=5% составляет 2,064. Следовательно, нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят
| L = 50 - 2,064 | 28 | = 38,442 |
| √25 |
| L = 50 + 2,064 | 28 | = 61,558 |
| √25 |
А сам интервал может быть записан в виде
Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .
Использование t-распределения позволяет сузить доверительный интервал либо за счет снижения статистической значимости, либо за счет увеличения размера выборки.
Снизив статистическую значимость с 95% до 90% в условиях нашего примера мы получим соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента 1,711.
| L = 50 - 1,711 | 28 | = 40,418 |
| √25 |
| L = 50 + 1,711 | 28 | = 59,582 |
| √25 |
В этом случае мы можем утверждать, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .
Если мы не хотим снижать статистическую значимость, то единственной альтернативой будет увеличение объема выборки. Допустим, что он составляет 64 индивидуальных наблюдения, а не 25 как в первоначальном условии примера. Табличное значение t-критерия Стьюдента для 63 степеней свободы (64-1) и уровня статистической значимости α=5% составляет 1,998.
| L = 50 - 1,998 | 28 | = 43,007 |
| √64 |
| L = 50 + 1,998 | 28 | = 56,993 |
| √64 |
Это дает нам возможность утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .
Выборки большого объема
К выборкам большого объема относятся выборки из генеральной совокупности данных, количество индивидуальных наблюдений в которых превышает 100. Статистические исследования показали, что выборки большего объема имеют тенденцию быть нормально распределенными, даже если распределение генеральной совокупности отличается от нормального. Кроме того, для таких выборок применение z-оценки и t-распределения дают примерно одинаковые результаты при построении доверительных интервалов. Таким образом, для выборок большого объема допускается применение z-оценки для нормального распределения вместо t-распределения.
Подведем итоги
Из данной статьи вы узнаете:
Что такое доверительный интервал ?
В чем суть правила 3-х сигм ?
Как можно применить эти знания на практике?
В наше время из-за переизбытка информации, связанного с большим ассортиментом товаров, направлений продаж, сотрудников, направлений деятельности и т.д., бывает трудно выделить главное , на что, в первую очередь, стоит обратить внимание и приложить усилия для управления. Определение доверительного интервала и анализ выхода за его границы фактических значений - методика, которая поможет вам выделить ситуации , влияющие на изменение тенденций. Вы сможете развивать позитивные факторы и снизить влияние негативных. Данная технология применяется во многих известных мировых компаниях.
Существуют так называемые "оповещения" , которые информируют руководителей о том, что очередное значение в определенном направлении вышло за доверительный интервал . Что это означает? Это сигнал, что произошло какое-то нестандартное событие, которое, возможно, изменит существующую тенденцию в данном направлении. Это сигнал к тому, чтобы разобраться в ситуации и понять, что на неё повлияло.
Например, рассмотрим несколько ситуаций. Мы рассчитали прогноз продаж с границами прогноза по 100 товарным позициям на 2011 год по месяцам и в марте фактические продажи:
- По «Подсолнечному маслу» пробили верхнюю границу прогноза и не попали в доверительный интервал.
- По «Сухим дрожжам» вышли за нижнюю границу прогноза.
- По «Овсяным Кашам» пробили верхнюю границу.
По остальным товарам фактические продажи оказались в рамках заданных границ прогноза. Т.е. их продажи оказались в рамках ожиданий. Итак, мы выделили 3 товара, которые вышли за границы, и начали разбираться, что же повлияло на выход за границы:
- По «Подсолнечному маслу» мы вошли в новую торговую сеть, которая дала нам дополнительный объем продаж, что привело к выходу за верхнюю границу. Для этого товара стоит пересчитать прогноз до конца года с учетом прогноза продаж в данную сеть.
- По «Сухим дрожжам» машина застряла на таможне, и образовался дефицит в рамках 5 дней, что повлияло на снижение продаж и выход за нижнюю границу. Возможно, стоит разобраться, что послужило причиной и постараться не повторять данную ситуацию.
- По «Овсяным Кашам» было запущено мероприятие по стимулированию сбыта, которое дало значительный прирост продаж и привело к выходу за границы прогноза.
Мы выделили 3 фактора, которые повлияли на выход за границы прогноза. В жизни их может быть гораздо больше.Для повышения точности прогнозирования и планирования факторы, которые приводят к тому, что фактические продажи могут выйти за границы прогноза, стоит выделить и строить прогнозы и планы по ним отдельно. А затем учитывать их влияние на основной прогноз продаж. Также можно регулярно оценивать влияние данных факторов и менять ситуацию к лучшему за счет уменьшения влияния негативных и увеличения влияния позитивных факторов .
С помощью доверительного интервала мы можем:
- Выделить направления , на которые стоит обратить внимание, т.к. в этих направлениях произошли события, которые могут повлиять на изменение тенденции .
- Определить факторы , которые реально влияют на изменение ситуации.
- Принять взвешенное решение (например, о закупках, при планировании и т.д.).
Теперь рассмотрим, что такое доверительный интервал и как его рассчитать в Excel на примере.
Что такое доверительный интервал?
Доверительный интервал – это границы прогноза (верхняя и нижняя), в рамки которых с заданной вероятностью (сигма) попадут фактические значения.
Т.е. мы рассчитываем прогноз - это наш основной ориентир, но мы понимаем, что фактические значения вряд ли на 100% будут равны нашему прогнозу. И возникает вопрос, в какие границы могут попасть фактические значения, если существующая тенденция сохранится ? И на этот вопрос нам поможет ответить расчет доверительного интервала , т.е. - верхней и нижней границы прогноза.
Что такое заданная вероятность сигма?
При расчете доверительного интервала мы можем задать вероятность попадания фактических значений в заданные границы прогноза . Как это сделать? Для этого мы задаем значение сигма и, если сигма будет равна:
3 сигма - то, вероятность попадания очередного фактического значения в доверительный интервал составят 99,7%, или 300 к 1, или существует 0,3% вероятности выхода за границы.
2 сигма - то, вероятность попадания очередного значения в границы составляет ≈ 95,5 %, т.е. шансы примерно 20 к 1, или существует 4,5% вероятности выхода за границы.
1 сигма - то, вероятность ≈ 68,3%, т.е. шансы примерно 2 к 1, или существует 31,7% вероятность того, что очередное значение выйдет за пределы доверительного интервала.
Мы сформулировали правило 3 сигм, которое гласит, что вероятность попадания очередного случайного значения в доверительный интервал с заданным значением три сигма составляет 99.7% .
Великим русским математиком Чебышевым была доказана теорема о том, что существует 10% вероятность выхода за границы прогноза с заданным значением три сигма. Т.е. вероятность попадания в доверительный интервал 3 сигма составит минимум 90%, в то время как попытка рассчитать прогноз и его границы «на глазок» чревата куда более существенными ошибками.
Как самостоятельно рассчитать доверительный интервал в Excel?
Расчет доверительного интервала в Excel (т.е. верхней и нижней границы прогноза) рассмотрим на примере. У нас есть временной ряд - продажи по месяцам за 5 лет. См. Вложенный файл.
Для расчета границ прогноза рассчитаем:
- Прогноз продаж ().
- Сигма - среднеквадратическое отклонение модели прогноза от фактических значений.
- Три сигма.
- Доверительный интервал.
1. Прогноз продаж.
=(RC[-14](данные во временном ряду) - RC[-1](значение модели) )^2(в квадрате)
3. Просуммируем для каждого месяца значения отклонений из 8 этапа Сумма((Xi-Ximod)^2), т.е. просуммируем январи, феврали... для каждого года.
Для этого воспользуемся формулой =СУММЕСЛИ()
СУММЕСЛИ(массив с номерами периодов внутри цикла (для месяцев от 1 до 12);ссылка на номер периода в цикле; ссылка на массив с квадратами разницы исходных данных и значений периодов)
4. Рассчитаем среднеквадратическое отклонение для каждого периода в цикле от 1 до 12 (10 этапво вложенном файле ).
Для этого из значения рассчитанного на 9 этапе мы извлекаем корень и делим на количество периодов в этом цикле минус 1 = КОРЕНЬ((Сумма(Xi-Ximod)^2/(n-1))
Воспользуемся формулами в Excel =КОРЕНЬ(R8 (ссылка на (Сумма(Xi-Ximod)^2) /(СЧЁТЕСЛИ($O$8:$O$67 (ссылка на массив с номерами цикла) ; O8 (ссылка на конкретный номер цикла, которые считаем в массиве) )-1))
С помощью формулы Excel = СЧЁТЕСЛИ мы считаем количество n
Рассчитав среднеквадратическое отклонение фактических данных от модели прогноза, мы получили значение сигма для каждого месяца - этап 10 во вложенном файле .
3. Рассчитаем 3 сигма.
На 11 этапе задаем количество сигм - в нашем примере «3» (11 этапво вложенном файле ):
Также удобные для практики значения сигма:
1,64 сигма - 10% вероятность выхода за предел (1 шанс из 10);
1,96 сигма - 5% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 20);
2,6 сигма - 1% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 100).
5) Рассчитываем три сигма , для этого мы значения «сигма» для каждого месяца умножаем на «3».
3.Определяем доверительный интервал.
- Верхняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности + (плюс) 3 сигма;
- Нижняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности – (минус) 3 сигма;
Для удобства расчета доверительного интервала на длительный период (см. вложенный файл) воспользуемся формулой Excel =Y8+ВПР(W8;$U$8:$V$19;2;0) , где
Y8 - прогноз продаж;
W8 - номер месяца, для которого будем брать значение 3-х сигма;
Т.е. Верхняя граница прогноза = «прогноз продаж» + «3 сигма» (в примере, ВПР(номер месяца; таблица со значениями 3-х сигма; столбец, из которого извлекаем значение сигма равное номеру месяца в соответствующей строке;0)).
Нижняя граница прогноза = «прогноз продаж» минус «3 сигма».
Итак, мы рассчитали доверительный интервал в Excel.
Теперь у нас есть прогноз и диапазон с границами в пределах, которого с заданной вероятностью сигма попадут фактические значения.
В данной статье мы рассмотрели, что такое сигма и правило трёх сигм, как определить доверительный интервал и для чего вы можете использовать данную методику на практике.
Точных вам прогнозов и успехов!
Чем Forecast4AC PRO может вам помочь при расчете доверительного интервала ?:
Forecast4AC PRO автоматически рассчитает верхнюю или нижнюю границы прогноза для более чем 1000 временных рядов одновременно;
Возможность анализа границ прогноза в сравнении с прогнозом, трендом и фактическими продажами на графике одним нажатием клавиши;
В программе Forcast4AC PRO есть возможность задать значение сигма от 1 до 3.
Присоединяйтесь к нам!
Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа :
- Novo Forecast Lite - автоматический расчет прогноза в Excel .
- 4analytics - ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
- Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition - BI-системы для анализа и визуализации данных.
Тестируйте возможности платных решений:
- Novo Forecast PRO - прогнозирование в Excel для больших массивов данных.
Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок, дающей возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки.
Основу теории случайных ошибок составляют следующие предположения:
при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
большие погрешности встречаются реже, чем малые (вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины);
при бесконечно большом числе измерении истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений;
появление того или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения.
На практике различают генеральную и выборочную совокупность измерений.
Под генеральной
совокупностью
подразумевают все множество возможных
значений измерений
или возможных значений погрешностей
.
Для выборочной
совокупности
число измерений
ограничено, и в каждом конкретном случае
строго определяется. Считают, что, если
,
то среднее значение данной совокупности
измерений
достаточно приближается к его истинному
значению.
1. Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности
Для большой
выборки и нормального закона распределения
общей оценочной характеристикой
измерения являются дисперсия
и коэффициент вариации
:
;
.
(1.1)
Дисперсия
характеризует однородность измерения.
Чем выше
,
тем больше
разброс измерений.
Коэффициент
вариации характеризует изменчивость.
Чем выше
,
тем больше
изменчивость измерений относительно
средних значений.
Для оценки достоверности результатов измерений вводятся в рассмотрение понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.
Доверительным
называется
интервал
значений
,
в который
попадает истинное значение
измеряемой величины с заданной
вероятностью.
Доверительной
вероятностью
(достоверностью) измерения называется
вероятность того, что истинное значение
измеряемой величины попадает в данный
доверительный интервал, т.е. в зону
.
Эта величина определяется в долях
единицы или в процентах
,
где
- интегральная функция Лапласа (табл.1.1
)
Интегральная функция Лапласа определяется следующим выражением:
.
Аргументом этой функции является гарантийный коэффициент :
Таблица 1.1
Интегральная функция Лапласа
Если же на основе
определенных данных установлена
доверительная вероятность
(часто ее принимают равной
),
то устанавливаетсяточность измерений
(доверительный интервал
)
на основе соотношения
.
Половина доверительного интервала равна
,
(1.3)
где
- аргумент функции Лапласа, если
(табл.1.1
);
- функции Стьюдента,
если
(табл.1.2
).
Таким образом, доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность - достоверность измерения.
Пример
Выполнено
измерений прочности дорожного покрытия
участка автомобильной дороги при среднем
модуле упругости
и вычисленном значении среднеквадратического
отклонения
.
Необходимо
определить
требуемую точность
измерений для разных уровней доверительной
вероятности 
,
приняв значения
потабл.1.1
.
В этом случае соответственно |
Следовательно,
для данного средства и метода измерений
доверительный интервал возрастает
примерно в
раза, если увеличить
только на
.
Вычисление доверительного интервала базируется на средней ошибке соответствующего параметра. Доверительный интервал показывает, в каких пределах с вероятностью (1-a) находится истинное значение оцениваемого параметра. Здесь a – уровень значимости, (1-a) называют также доверительной вероятностью.
В первой главе мы показали, что, например, для среднего арифметического, истинное среднее по совокупности примерно в 95% случаев лежит в пределах 2 средних ошибок среднего. Таким образом, границы 95% доверительного интервала для среднего будет отстоять от выборочного среднего на удвоенную среднюю ошибку среднего, т.е. мы умножаем среднюю ошибку среднего на некий коэффициент, зависящий от доверительной вероятности. Для среднего и разности средних берётся коэффициент Стьюдента (критическое значение критерия Стьюдента), для доли и разности долей критическое значение критерия z. Произведение коэффициента на среднюю ошибку можно назвать предельной ошибкой данного параметра, т.е. максимальную, которую мы можем получить при его оценке.
Доверительный интервал для среднего арифметического : .
Здесь - выборочное среднее;
Средняя ошибка среднего арифметического;
s – выборочное среднее квадратическое отклонение;
n
f = n -1 (коэффициент Стьюдента).
Доверительный интервал для разности средних арифметических :
Здесь - разность выборочных средних;
- средняя ошибка разности средних арифметических;
s 1 ,s 2 – выборочные средние квадратические отклонения;
n 1 ,n 2
Критическое значение критерия Стьюдента при заданных уровне значимости a и числе степеней свободы f=n 1 +n 2 -2 (коэффициент Стьюдента).
Доверительный интервал для доли :
.
Здесь d – выборочная доля;
– средняя ошибка доли;
n – объём выборки (численность группы);
Доверительный интервал для разности долей :
Здесь - разность выборочных долей;
– средняя ошибка разности средних арифметических;
n 1 ,n 2 – объёмы выборок (численности групп);
Критическое значение критерия z при заданном уровне значимости a ( , , ).
Вычисляя доверительные интервалы для разности показателей, мы, во-первых, непосредственно видим возможные значения эффекта, а не только его точечную оценку. Во-вторых, можем сделать вывод о принятии или опровержении нулевой гипотезы и, в-третьих, можем сделать вывод о мощности критерия.
При проверке гипотез с помощью доверительных интервалов надо придерживаться следующего правила:
Если 100(1-a)-процентный доверительный интервал разности средних не содержит нуля, то различия статистически значимы на уровне значимости a; напротив, если этот интервал содержит ноль, то различия статистически не значимы.
Действительно, если этот интервал содержит ноль, то, значит, сравниваемый показатель может оказаться как больше, так и меньше в одной из групп, по сравнению с другой, т.е. наблюдаемые различия случайны.
По месту, где находится ноль внутри доверительного интервала, можно судить о мощности критерия. Если ноль близок к нижней или верхней границе интервала, то возможно при большей численности сравниваемых групп, различия достигли бы статистической значимости. Если ноль близок к середине интервала, то, значит, равновероятно и увеличение и уменьшение показателя в экспериментальной группе, и, вероятно, различий действительно нет.
Примеры:
Сравнить операционную летальность при применении двух разных видов анестезии: с применением первого вида анестезии оперировалось 61 человек, умерло 8, с применением второго – 67 человек, умерло 10.
d 1 = 8/61 = 0,131; d 2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.
Разность летальностей сравниваемых методов будет находиться в интервале (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) или (-0,14 ; 0,104) с вероятностью 100(1-a) = 95%. Интервал содержит ноль, т.е. гипотезу об одинаковой летальности при двух разных видах анестезии отвергнуть нельзя.
Таким образом, летальность может и уменьшится до 14% и увеличиться до 10,4% с вероятностью 95%, т.е. ноль находится примерно по середине интервала, поэтому можно утверждать, что, скорее всего, действительно не отличаются по летальности эти два метода.
В рассмотренном ранее примере сравнивалось среднее время нажатия при теппинг-тесте в четырёх группах студентов, отличающихся по экзаменационной оценке. Вычислим доверительные интервалы среднего времени нажатия для студентов, сдавших экзамен на 2 и на 5 и доверительный интервал для разности этих средних.
Коэффициенты Стьюдента находим по таблицам распределения Стьюдента (см. приложение): для первой группы: = t(0,05;48) = 2,011; для второй группы: = t(0,05;61) = 2,000. Таким образом, доверительные интервалы для первой группы: = (162,19-2,011*2,18 ; 162,19+2,011*2,18) = (157,8 ; 166,6) , для второй группы (156,55-2,000*1,88 ; 156,55+2,000*1,88) = (152,8 ; 160,3). Итак, для сдавших экзамен на 2, среднее время нажатия лежит в пределах от 157,8 мс до 166,6 мс с вероятностью 95%, для сдавших экзамен на 5 – от 152,8 мс до 160,3 мс с вероятностью 95%.
Проверять нулевую гипотезу можно и по доверительным интервалам для средних, а не только для разности средних. Например, как в нашем случае, если доверительные интервалы для средних перекрываются, то нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Для того чтобы отвергнуть гипотезу на выбранном уровне значимости, соответствующие доверительные интервалы не должны перекрываться.
Найдём доверительный интервал для разности среднего времени нажатия в группах сдавших экзамен на 2 и на 5. Разность средних: 162,19 – 156,55 = 5,64. Коэффициент Стьюдента: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Групповые средние квадратические отклонения будут равны: ; . Вычисляем среднюю ошибку разности средних: . Доверительный интервал: =(5,64-1,982*2,87 ; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044 ; 11,33).
Итак, разница среднего времени нажатия в группах, сдавших экзамен на 2 и на 5, будет находиться в интервале от -0,044 мс до 11,33 мс. В этот интервал входит ноль, т.е. среднее время нажатия у отлично сдавших экзамен, может и увеличиться и уменьшится по сравнению с неудовлетворительно сдавшими, т.е. нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Но ноль находится очень близко к нижней границе, время нажатия гораздо вероятнее всё-таки уменьшается у отлично сдавших. Таким образом, можно сделать вывод, что различия в среднем времени нажатия между сдавшими на 2 и на 5 всё-таки есть, просто мы не смогли их обнаружить при данном изменении среднего времени, разбросе среднего времени и объёмах выборок.
Мощность критерия – это вероятность отвергнуть неверную нулевую гипотезу, т.е. найти различия там, где они действительно есть.
Мощность критерия определяется исходя из уровня значимости, величины различий между группами, разброса значений в группах и объёма выборок.
Для критерия Стьюдента и дисперсионного анализа можно воспользоваться диаграммами чувствительности.
Мощность критерия можно использовать при предварительном определении необходимой численности групп.
Доверительный интервал показывает, в каких пределах с заданной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.
С помощью доверительных интервалов можно проверять статистические гипотезы и делать выводы о чувствительности критериев.
ЛИТЕРАТУРА.
Гланц С. – Глава 6,7.
Реброва О.Ю. – с.112-114, с.171-173, с.234-238.
Сидоренко Е. В. – с.32-33.
Вопросы для самопроверки студентов.
1. Что такое мощность критерия?
2. В каких случаях необходимо оценить мощность критериев?
3. Способы расчёта мощности.
6. Как проверить статистическую гипотезу с помощью доверительного интервала?
7. Что можно сказать о мощности критерия при расчёте доверительного интервала?
Задачи.
Вероятности , признанные достаточным для того, чтобы уверенно судить о генеральных параметрах на основании выборочных характеристик, называют доверительными .
Обычно, в качестве доверительных вероятностей выбирают значения 0,95; 0,99; 0,999 (их принято выражать в процентах – 95%, 99%, 99,9%). Чем выше мера ответственности, тем более высокий уровень доверительной вероятности: 99% или 99,9%.
Доверительная вероятность 0,95 (95%) считается достаточной в научных исследованиях в области физической культуры и спорта.
Интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью находится выборочное среднее арифметическое генеральной совокупности, называется доверительным интервалом .
Уровень значимости оценивания – малое число α, значение которого предполагает вероятность того, что выходит за границы доверительного интервала. В соответствии с доверительными вероятностями: α 1 = (1- 0,95) = 0, 05; α 2 = (1 – 0,99) = 0, 01 и т.д.
Доверительный интервал для среднего (математического ожидания) a нормального распределения:
,
где - надежность (доверительная вероятность) оценивания; - выборочное среднее; s - исправленное среднеквадратическое отклонение; n – объем выборки; t γ - величина, определяемая по таблице распределения Стьюдента (см. приложение, табл. 1) при заданных n и γ.
Чтобы найти границы доверительного интервала среднего значения генеральной совокупности необходимо:
1. Вычислить и s.
2. Следует задасться доверительной вероятностью (надежностью) γ оценивания 0,95 (95 %) или уровнем значимости α 0,05 (5 %)
3. По таблице t – распределения Стьюдента (приложение, табл. 1) найти граничные значения t γ .
Так как t– распределение симметрично относительно нулевой точки, достаточно знать только положительное значение t. Например, если объем выборки n=16, то число степеней свободы (degrees of freedom, df ) t – распределения df =16 - 1=15 . По табл. 1 приложения t 0,05 = 2,13.
4. Находим границы доверительного интервала для α = 0,05 и n = 16:
Границы доверия:
При больших объемах выборки (n ≥ 30) t – распределение Стьюдента переходит в нормальное. Поэтому доверительный интервал для при n ≥ 30 можно записать следующим образом:
где u - процентивные точки нормированного нормального распределения .
Для стандартных доверительных вероятностей (95%, 99%; 99, 9%) и уровней значимости α значения (u ) приведены в таблице 8.
Таблица 8
Значения для стандартных доверительных уровней α
| α | u |
| 0,05 | 1,96 |
| 0,01 | 2,58 |
| 0,001 | 3,28 |
Опираясь на данные примера 1, определим границы 95 % - го доверительного интервала (α = 0,05) для среднего результата прыжка вверх с места. В нашем примере объем выборки n = 65, тогда для определения границ доверительного интервала можно использовать рекомендации для большого объема выборки.